文 章

黄金矩形、黄金三角形与黄金分割比

2022年06月23日  

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【百道编按】“数学桥”是上海科技教育出版社的一大品牌,丛书内容带领读者畅游充满奥秘的数学世界,领略数学的神奇与魅力。赶上618狂欢节,丛书中的《数学奇观:让数学之美带给你灵感与启发》讲述了与618这三个数字相关的黄金分割比例,呈现了数学的内在美。

《数学桥丛书(全9册)》
点击图书封面可直接购买
出版社:上海科技教育出版社
作者:[英]迈克尔·M.伍夫森,[美]阿尔弗雷德·S.波萨门蒂,[美]德里克·尼德曼 等
译者:邹建成 汪晓勤 黄友初 等
出版时间:2022年03月

大部分人只知道6月18日是年中购物节,其实它还是数学家眼中的黄金分割日。因为那个频频出现在绘画、建筑等艺术作品中的最美常数——黄金分割比φ,就近似等于1:0.618,其数值约为1.618。 

当谈到数学之美时,许多人第一个想到的很可能是那个大多数艺术家都公认最美的黄金矩形。雅典的帕台农神庙就是基于黄金矩形的形状建立的。 

另一个著名的例子是达·芬奇的《蒙娜丽莎》,画作中也暗含了一个个黄金矩形的轮廓。

黄金矩形

黄金矩形,就是长与宽的比例等于φ的矩形。要构建一个黄金矩形,可以从一个正方形ABEF开始。找到边AF的中点M,并以M为圆心、ME为半径画一段圆弧,与边AF所在直线相交于点D。然后从点D竖直向上画一条垂线段,与边BE所在直线相交于点C。矩形ABCD就是一个黄金矩形。有意思的是,从这个黄金矩形中移除原来的正方形ABEF,余下的矩形ECDF也是一个黄金矩形。 

这个过程可以一直持续下去,也就是说,如果我们连续不断地在黄金矩形中移除一个正方形,那么依次产生的矩形ECDF、矩形JDFN、矩形TFNP、矩形HNPQ……全部都是黄金矩形,它们的长与宽的比例都等于φ。 

在上面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧,就会得到一条接近于对数螺线的曲线,每个黄金矩形都恰有一个顶点位于这条曲线上。这条曲线也出现在本文最开始的两幅图中。

黄金分割比

呈现出数学之美的黄金分割比φ是怎么算出来的呢?让我们来看看它的定义。把一条线段AB分割为两部分,使较大部分PB与较小部分AP的比值等于全长AB与较大部分PB的比值,则这个比值即为黄金分割比。列成表达式就是 

我们设AB的长为1,PB的长为x,则有 

这给出了x2+x-1=0,在x取正根时有 

黄金分割比φ是x的倒数,它的值是 

其近似值为1.618 033 98…。

黄金三角形

下面让我们抛开“正统”的数学作图和计算,通过折叠一条纸带来构建出这个神奇的比例。 

取一条窄窄的纸带,用它打一个结,然后非常仔细地将这个结压平。得到的中间这个形状看起来像是一个正五边形。 

如果你用的是较薄的半透明纸,将它举到光亮处,应该能看到一个有对角线的五边形。这些对角线恰好以黄金分割比φ彼此相交! 

仔细看一下这个五边形,对角线HB将对角线AC分为黄金分割形式,即 

倒过来也成立,就是说对角线AC也将对角线HB分为黄金分割形式。 

再来关注其中的等腰三角形ABC,它的顶角大小为36°,底角大小为72°,顶角恰为底角的一半。进一步可知BC = BD = AD,所以△ABC的腰和底的比例恰好就是φ。因此,我们称这样的△ABC为黄金三角形。你马上可以发现,△BDC也是黄金三角形。

在刚才那个五边形中,你能找出多少个黄金三角形?

上面的内容出自“数学桥”丛书中的《数学奇观——让数学之美带给你灵感与启发》,本书荣获引进版优秀图书奖和华东地区优秀教育图书奖,作者是美国著名数学教育家波萨门蒂。他通过列举数学在各种不同分支中的大量实例,来充分地阐明数学之美。有了书中的这些材料,就可以攻克吸引孩子们爱上数学这个难题了!

数学奇观——让数学之美带给你灵感与启发

[美]阿尔弗雷德·波萨门蒂  著

涂泓  译  冯承天  译校

定价:78.00元

出版社:上海科技教育出版社

“数学桥”丛书

以“传播数学文化,展示数学魅力,培育数学思维,陶冶数学情怀”为宗旨,讲述数学为人类带来的重大影响,揭示日常生活中的数学奥秘,激发读者的科学创新思想。包含《数学桥》《2的平方根》《数字密码》《渴望不可能》《人人都来掷骰子》《魔法数学》《神奇的圆》《数学犹聊天》《数学奇观》,共9个品种,全套定价688元。

编辑:佑生

(本文原载于:上海科技教育出版社公众号)

来源:百道网

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